Matemáticas en nuestro día a día

¿Cómo podemos aplicar conceptos matemáticos para resolver problemas que surgen en la vida cotidiana? Esta es la pregunta más repetida que los alumnos se hacen cuando estudian esta materia; ¿para qué sirven las matemáticas? 

"Las matemáticas son para siempre"- Eduardo Saenz de Cabezón, "Derivando"

Las matemáticas son la ciencia por excelencia al ser la base para cualquier acercamiento científico independientemente de la disciplina, ya sea en el área de la física, estadística, informática, química... Además, las aplicaciones matemáticas influyen en todos los campos de la vida, entre los cuales se pueden encontrar el periodismo, la publicidad, la política, las ciencias biológicas, la economía y la música, entre otros. Aún así, no es fácil darse cuenta de que las acciones cotidianas como extraer dinero de un cajero automático, sacar un billete de metro, comprar una bebida en una máquina expendedora  no serían posibles si no hubiese detrás un soporte matemático que facilitara su diseño y uso. 

Aprender esta materia tiene grandes beneficios y son una pieza clave para el desarrollo de los niños, ya que les ayuda a ser lógicos, a aprender a razonar, a tener pensamiento analítico, contribuye a su agilidad mental, desarrolla la capacidad de pensamiento...etc. 

En este post os voy a mostrar una de las muchas herramientas matemáticas que ayudan a resolver los numerosos problemas que están presentes en nuestro día a día con el objetivo de convencer (aunque sea solo un poquito) a todas aquellas personas que lo lean, de que las Matemáticas no son sólo cálculos y problemas faltos de sentido, si no que se aplican continuamente en nuestra vida.

Os voy a hablar de los diseños combinatorios, que son una parte de la matemática combinatoria y sobre los cuales abordé mi trabajo de fin de grado. Un diseño combinatorio no es más que un par (X,B) donde X es un conjunto de elementos, por ejemplo X={1,2,3,4,5,6}, y B es una familia de subconjuntos de dichos elementos, por ejemplo B={{1,2,3},{4,5,6},{1,5,6},{2,4,5},{2,3,4},{1,3,6}}, denominados bloques.

Supongamos que queremos organizar distintas actividades con nueve niños durante cuatro días, de manera que cada día se realice, por grupos de tres, un taller distinto. Como el objetivo es que todos los niños aprendan y se conozcan entre sí, debemos organizar diferentes grupos cada día de forma que cada par de niños solo coincida en un grupo un único día. Además, todos los niños han de realizar todos los días la actividad correspondiente, es decir, a lo largo de esos días cada niño formará parte de cuatro grupos distintos.

Del mismo modo, supongamos que una compañía de cosméticos ha lanzado nuevos productos de limpieza facial al mercado. Dicha empresa quiere realizar un estudio que compare la eficacia de estos productos sobre la piel de los clientes. Por ello, si realizamos el estudio con v modelos distintos, queremos que cada persona pruebe el mismo número de modelos, k, y a su vez, que cada modelo sea probado por el mismo número de personas, r.

Estos problemas, entre muchos otros, son los que pretende resolver la teoría del diseño combinatorio. En particular, si identificamos a los niños o a los cosméticos como elementos y a los grupos o clientes como bloques, podemos identificar el problema como un diseño combinatorio.

Además, los diseños resolubles son muy útiles en el diseño experimental. Un ejemplo familiar de un diseño que se puede resolver surge a la hora de crear la lista de partidos de tenis. Podemos suponer que en un torneo juegan 2n participantes y cada uno debe jugar exactamente una vez contra todos los demás jugadores. Además, los torneos se organizarán durante 2n-1 días, de modo que todos los días cada participante juegue contra su respectivo contrincante, sin coincidir ambos más de una vez. Así, la lista de partidos no es más que un diseño que se puede resolver.

Todos estos problemas tienen solución y no son más que diseños combinatorios. Por ejemplo, la solución al primer problema sería el diseño combinatorio formado por el conjunto X={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el siguiente conjunto de bloques:

Para dar la solución del segundo y tercer problema, tendría que entrar en construcciones de diseños y eso ya requiere de mucha más información y conceptos previos.

En particular, me gustaría destacar los cuadrados latinos. Un cuadrado latino de orden n es una matriz de tamaño n*n cuyos términos pertenecen a un conjunto finito de cardinal n, de manera que cada uno de los elementos aparece exactamente una vez en cada fila y en cada columna. Para que sea más sencillo de visualizar; todos sabéis qué es un sudoku, ¿no?, pues éste no es más que un cuadrado latino.

Estos diseños permiten resolver muchos problemas, entre ellos los siguientes.

Uno de los primeros ejemplos de cuadrados latinos en el diseño de experimentos fue introducido por Palluel quién, en 1788, utilizó el siguiente cuadrado en un experimento con 16 ovejas de cuatro razas distintas. Es decir, con cuatro ovejas de cada raza. Dicho problema consistía en organizar grupos de cuatro ovejas de forma que a cada grupo perteneciera una oveja de cada raza y tal que en cada raza hubiera cuatro dietas distintas. En este caso, si las razas se corresponden con las filas, las dietas con las columnas y cada número se corresponde con un día de la semana, entonces el cuadrado muestra la manera de seleccionar cuatro ovejas para sacrificar cada uno de los cuatro días, de modo que en cada día se sacrifique una oveja de cada raza y de cada dieta.

Supongamos ahora que queremos organizar un experimento de piscicultura agrícola para probar cinco nuevos tipos de piensos (A, B, C, D y E) en una granja acuática, de forma que si delimitamos la zona marítima en 25 piscinas iguales, cada pienso se aplique exactamente una vez en cada fila y en cada columna, con el objetivo de conocer, por ejemplo, la eficacia de la alimentación dependiendo de las condiciones en la que se encuentre cada piscina. Una posible solución a este problema sería el esquema siguiente:

Por último, me gustaría añadir que las aplicaciones de los diseños combinatorios, y en particular, de los cuadrados latinos, se encuentran en muchas áreas. Por ejemplo, en la geometría finita, la programación de torneos, loterías, criptografía, el diseño y análisis de algoritmos o en el diseño de experimentos, entre otros muchos.

Espero que os haya gustado esta entrada y os animo a ver el vídeo de Eduardo Saenz de Cabezon; "Las matemáticas son para siempre"!!